TD1 : Régression linéaire simple

Exercice 1

On considère le jeu de données tomato_sauce.csv disponible ici .

Les données recueillies portent sur des mesures effectuées sur un site de production de sauce à base de tomate.

La variable \(Y\) à expliquer, notée rdt, est une réponse liée au rendement de production (% d’extrait de tomate dans la sauce).

La variable explicative \(X\), notée ratioMP, est relative à la qualité du lot de matières premières (% de solides insolubles dans l’eau par rapport à la quantité de solide totale).

24 observations ont été réalisées sur une série d’ordres de production consécutifs

1. Importer les données dans R, et en dresser un rapide résumé statistique.

2. Réaliser les boxplots et histogrammes des différentes variables. Commenter.

3. Tracer le nuage de points associé aux données, puis calculer le coefficient de corrélation linéaire entre les deux variables (rappeler la définition de ce dernier).

Celui-ci est-il significativement non nul ? Un modèle linéaire semble-t-il adapté aux données ? Ecrire mathématiquement ce modèle.

4. À l’aide de la fonction lm(), ajsuter un modèle linéaire aux données. En faire un résumé rapide avec la fonction summary().

5. Donner les valeurs estimées des coefficients du modèle, ainsi qu’un intervalle de confiance à 95% de ces coefficients avec la fonction confint(). Ceux-ci sont-ils significativement non nuls ? Préciser la statistique de test utilisée ici.

6. Quelle est la proportion de variance expliquée par le modèle ? Rappeler la définition de l’indicateur statistique utilisé.

7. Utiliser la fonction geom_smooth() du package ggplot2 afin de tracer la droite de régression linéaire ajustée aux données.

L’intervalle de confiance à 95% tracé par cette fonction est celui de la valeur \(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x\). Il s’agit en fait de l’intervalle de confiance pour la valeur moyenne de la variable réponse \(y\).

8. On souhaite à présent rajouter l’intervalle de confiance pour les prévisions faites par le modèle. Celui-ci est différent de l’intervalle tracé par la fonction geom_smooth(). Il prend notamment en compte la dispersion liée au bruit gaussien du modèle.

• A l’aide de la fonction predict() récupérer les bornes inférieures et supérieures des prévisions associées aux observations du jeu de données. On stockera ces valeurs dans le data-frame initial avec pour noms de variables pred_lwr et pred_upr.
• Rajouter, à l’aide de la fonction geom_line(), ces bornes sur le graphique réalisé jusqu’à présent.

9. Déterminer les valeurs prédites (ainsi que leurs intervalles de confiance à 95%) de la variable rendement pour les valeurs suivantes de la variable ratioMP.

Exercice 2

On s’intéresse ici à l’équilibre des saveurs dans différents cidres.

90 cidres bruts ont été évalués par un jury sensoriel formé de 24 juges (échelle de notation de 1 à 10, calcul des notes moyennes), selon différents critères : - Saveur sucrée; - Saveur Acide; - Saveur amère; - Saveur astringente

On étudie plus précisément la relation entre la saveur astringente (variable réponse) des cidres et leur saveur amère (variable explicative).

1. Importer le jeu de données dans R (disponible ici ), et en dresser un rapide résumé statistique.

2. Représenter graphiquement la distribution des différentes variables du jeu de données par la méthode de votre choix.

3. Combien de données manquantes le jeu de données comporte-t-il ?

4. On souhaite imputer ces valeurs manquantes via un modèle linéaire simple reliant la saveur astringente (variable réponse) des cidre et leur saveur amère (variable explicative).

Un tel modèle vous semble-t-il adapté ?

5. Ajuster un modèle linéaire donnant la saveur astringente en fonction de la saveur amère. Quel est le pourcentage de variance expliquée par ce modèle ?

6. Sur un graphique, représenter :

• le nuage de points donnant la saveur astringente des cidres en fonction de leur saveur amère;
• la droite de régression linéaire donnée par le modèle utilisé;
• les différents intervalles de confiance au niveau 95% pour les prévisions faites par le modèle.

7. Imputer enfin les valeurs manquantes, et donner leur intervalle de confiance au niveau 95%.